?

Log in

No account? Create an account

Previous Entry | Next Entry

самые разные книжки

БИБЛИОТЕКА ДЛЯ ЧТЕНИЯ. 49

ВЛАДИМИР УСПЕНСКИЙ

Хотя термин «доказательство» является едва ли не самым главным в математике, он не имеет точного определения и во всей его полноте принадлежит математике не более, чем психологии: ведь доказательство – это просто рассуждение, убеждающее нас настолько, что с его помощью мы готовы убеждать других.
___
(выделение жирным шрифтом – мое)

В.А. Успенский, Теорема Геделя о неполноте. М., «Наука», 1982

Comments

( 63 comments — Leave a comment )
mutantkhamon
Mar. 30th, 2012 08:55 am (UTC)
Удивительно, что далеко не все математики и логики это понимают
natuhes
Mar. 30th, 2012 08:58 am (UTC)
А некоторые умудряются закончить мехмат, прожить двадцать лет и ни разу об этом не подумать.
С этой минуты считаю себя поверхностным человеком.
(no subject) - mutantkhamon - Mar. 30th, 2012 09:09 am (UTC) - Expand
aleksei_borisov
Mar. 30th, 2012 08:55 am (UTC)
Вообще-то не просто рассуждение, а рассуждение по определённым правилам.
К мессианству это отношения не имеет. Убеждать других и с помощью дубины можно, было бы желание убеждать.
Геворг Геворгян
Mar. 30th, 2012 12:05 pm (UTC)
Если с помощью дубины, то убеждать других будет крайне неохотно. Извращенцев в расчет не беру.
(no subject) - aleksei_borisov - Mar. 30th, 2012 12:11 pm (UTC) - Expand
hoakin_dealaue
Mar. 30th, 2012 09:03 am (UTC)
Денис Викторович, всё хочу спросить и забываю, но вот спрашиваю наконец: в "Мастер и Маргарита" упоминается Драгунский, просто среди литераторов проскакивает фамилия, это не ваш ли папа?
clear_text
Mar. 30th, 2012 09:33 am (UTC)
я знаю, знаю. Думаю, что это совпадение. Булгаков закончил Мастера и Маргариту в 1939 году. Моему папе было тогда 26 лет. Он не был писателем, но с 20 лет он вертелся в театральном кругу (учился в студии Алексея Дикого, играл на сцене). Возможно, Булгаков просто услышал эту фамилию.
(no subject) - hoakin_dealaue - Mar. 30th, 2012 09:43 am (UTC) - Expand
(no subject) - clear_text - Mar. 30th, 2012 09:47 am (UTC) - Expand
(no subject) - hoakin_dealaue - Mar. 30th, 2012 11:59 am (UTC) - Expand
(no subject) - hoakin_dealaue - Mar. 30th, 2012 12:17 pm (UTC) - Expand
(no subject) - clear_text - Mar. 30th, 2012 09:51 am (UTC) - Expand
(no subject) - hoakin_dealaue - Mar. 30th, 2012 11:46 am (UTC) - Expand
(no subject) - dmtrs - Mar. 30th, 2012 11:54 am (UTC) - Expand
(no subject) - hoakin_dealaue - Mar. 30th, 2012 12:02 pm (UTC) - Expand
(no subject) - hoakin_dealaue - Mar. 30th, 2012 11:56 am (UTC) - Expand
(no subject) - olegych2007 - Apr. 1st, 2012 11:51 pm (UTC) - Expand
arimotozuka
Mar. 30th, 2012 09:30 am (UTC)
по-моему он неправ.
не всякое расуждение - доказательство.
kondybas
Mar. 30th, 2012 09:42 am (UTC)
Но для себя мы полагаем доказательством всякое рассуждение, убеждающее нас.

Проблемы начинаются тогда, когда это же самое рассуждение не действует на других. Бывает, попадется дурень, до которого никак не доходит, даже с двадцатого раза. Вот не видит он, почему "если бога нет то все позволено" - и хоть кол ему на голове теши. Но это неопасный дурень. Гораздо опаснее тот, который наоборот, все поймет, но, вместо проникнуться, начинает ржать и тыкать пальцем, мол, вот тут, тут и тут логические ошибки в рассуждениях. И это после того, как эти рассуждения убедили нас самих! Например, в том, что всякое доказательство - просто рассуждение бла бла бла. Хотя "всякое" - это чрезмерная генерализация, и явная логическая ошибка подмены частноутвердительного высказывания общеутвердительным.
(no subject) - arimotozuka - Mar. 30th, 2012 10:43 am (UTC) - Expand
(no subject) - kondybas - Mar. 30th, 2012 10:51 am (UTC) - Expand
(no subject) - clear_text - Mar. 30th, 2012 10:59 am (UTC) - Expand
(no subject) - kondybas - Mar. 30th, 2012 11:28 am (UTC) - Expand
(no subject) - rezoner - Mar. 30th, 2012 01:35 pm (UTC) - Expand
(no subject) - ipain - Mar. 30th, 2012 02:19 pm (UTC) - Expand
k_o_i_l
Mar. 30th, 2012 09:41 am (UTC)
Ну если сто долларов для вас "мелочь" причины, по которым доказательство убеждает настолько, что с его помощью можно убеждать других, — это "просто", то я офигеваю надо смотреть контекст, в котором это сказано.
clear_text
Mar. 30th, 2012 09:48 am (UTC)
прочитайте. Очень хорошая и просто написанная книжка. В серии "популярные лекции по математике".
(no subject) - k_o_i_l - Mar. 30th, 2012 09:53 am (UTC) - Expand
(no subject) - clear_text - Mar. 30th, 2012 10:59 am (UTC) - Expand
(no subject) - rezoner - Mar. 30th, 2012 01:36 pm (UTC) - Expand
(no subject) - aaoi - Mar. 30th, 2012 07:30 pm (UTC) - Expand
loqva
Mar. 30th, 2012 10:58 am (UTC)
Да, не все доказательства одинаково доказательны.
Но некоторые могут быть проверены компьютером:
http://en.wikipedia.org/wiki/Formal_proof
clear_text
Mar. 30th, 2012 10:59 am (UTC)
гы.
natali_ya
Mar. 30th, 2012 11:09 am (UTC)
Я не математик, но мне кажется, что многие слова, имющие широкое значение, попадая в определённую область, приобретают узкий смысл, поэтому, есть основания отличать термины "научное доказательство", "математическое доказательство" и просто доказательство.
clear_text
Mar. 30th, 2012 11:16 am (UTC)
тогда нам придется признать, что достоверность научного доказательства меняется с каждой эпохой.
Или же в горделивом ослеплении считать, что мы сегодня достигли апогея знаний. Что до нас жили дураки, а после нас вообще ничего не будет, наука дальше развиваться не станет.
(no subject) - natali_ya - Mar. 30th, 2012 11:27 am (UTC) - Expand
(no subject) - clear_text - Mar. 30th, 2012 02:38 pm (UTC) - Expand
(no subject) - natali_ya - Mar. 30th, 2012 03:01 pm (UTC) - Expand
(no subject) - otstavnov.com - Mar. 30th, 2012 11:49 am (UTC) - Expand
(no subject) - clear_text - Mar. 30th, 2012 02:39 pm (UTC) - Expand
(no subject) - efimpp - Mar. 30th, 2012 03:41 pm (UTC) - Expand
aron_turgenev
Mar. 30th, 2012 12:02 pm (UTC)
Слышал это высказывание от того же автора много лет назад на известном московском семинаре. Только он тогда говорил об "агрессивном утверждении".
dmtrs
Mar. 30th, 2012 12:03 pm (UTC)
Я книжку посмотрю, но, по-моему, автор тут совершает подмену понятий. В математике доказательство - структурированная цепочка, основанная на формальной логике. Исходящая из посыла (аксиоматический набор), который принимается, грубо говоря, на веру. К размахиванию руками (убеждениям :) это не имеет никакого отношения.
kot_begemot
Mar. 30th, 2012 12:11 pm (UTC)
Именно так. Любое математическое доказательство происходит в некоторой системе аксиом. Если утверждение сводится к тавтологии в этой системе, значит оно доказано.
(no subject) - rezoner - Mar. 30th, 2012 01:40 pm (UTC) - Expand
(no subject) - ok_66 - Mar. 30th, 2012 04:23 pm (UTC) - Expand
(no subject) - freeborn - Mar. 31st, 2012 09:07 pm (UTC) - Expand
(no subject) - Геворг Геворгян - Mar. 30th, 2012 12:14 pm (UTC) - Expand
kot_begemot
Mar. 30th, 2012 12:08 pm (UTC)
Для доказательства, вообще говоря, есть строгое определение.
Во всяком случае, для формально-логического доказательства.
Доказательство есть последовательность логических преобразований, приводящая доказываемое утверждение к тавтологии.


Edited at 2012-03-30 12:09 pm (UTC)
nefedor
Mar. 31st, 2012 08:27 pm (UTC)
Так считает одна из школ. На практике таким видом доказательств пользуются довольно редко.
(no subject) - kot_begemot - Mar. 31st, 2012 09:37 pm (UTC) - Expand
(no subject) - nefedor - Apr. 1st, 2012 04:57 pm (UTC) - Expand
(no subject) - nefedor - Apr. 1st, 2012 05:05 pm (UTC) - Expand
iz_chicago
Mar. 30th, 2012 03:03 pm (UTC)
по-видимому, здесь есть профессиональные математики. так что поправьте меня, если где-то ошибаюсь.

Насколько мне известно, теоремы Геделя не об отсуствии доказательств, а о принципиальной неполноте математики. Т.е. , в изложении для физиков, некий начальный набор понятий и утверждений , сопровождающийся проговорками типа "ну, понятно всем, что...", привносится в математику извне. И все остальное строится на основе этих исходных кирпичиков.

Далеко не все в математическом образовании это знают. Видел не раз учебники, где множество определяется как набор элементов, а элементы... как то, из чего состоит множество. Вот в этом, на мой взгляд, и состоит основная идея неполноты.
Доказательство же было доведено до совершенства еще древними греками. Тут владельцу журнала и карты в руки. Мы по-гречески не понимаем :-))
mishafurman
Mar. 30th, 2012 06:43 pm (UTC)
Хоть я не то, чтобу уж совсем профессиональный математик, но осмелюсь сказать, что Вы ошибаетесь!
(no subject) - aaoi - Mar. 30th, 2012 07:45 pm (UTC) - Expand
(no subject) - gaz_v_pol - Aug. 2nd, 2012 09:33 pm (UTC) - Expand
mishafurman
Mar. 30th, 2012 09:45 pm (UTC)
Забавная цитата, но мне кажется, что она немножко вырвана из контекста (мне кажется, что я подобное видел в другой его книге "Апология математики", которая стоит у меня дома на полке - надо будет проверить).
Дело в том, что существует два разных понятия доказательства. Одно - про обычнуюю жизнь: это относится к убеждению кого-нибуди в том, что что-то есть истина. Скажем в том, что обвиняемый в суде на самом деле виновен.
Другое - из матемаической логики и представляет собой некий совершенно формальный текст. Вернее, последовательность текстов: она должна начинаться с чего-то, обычно называемого аксиомками, кончаться тем, что обычно называется утверждением доказательства и каждый шаг от одного текста к следующему должен подчиняться строгим правилам, которые обычно называют правилами вывода.
Так вот определение Успенского - о первом типе доказательства. Второй тип гораздо более точен: можно построить механизм (или, по современному, программу), который проверит доказательство. То есть, "убедить" в данном случае нужно машину.

Но в даже и в математике (то есть применительно к математическим фактам) используется широкая гамма различных представлений о том, что является доказательством. И часто "доказательством" называют убеждение в том, что "формальное доказательство" и "машину" в принципе можно сделать - в реальности это часто невероятно сложно. И - мнения о том какими в точности должны быть правила вывода тоже не всегда сходятся...
lemondaddy
Mar. 31st, 2012 04:08 am (UTC)
Именно так! меняется... пример с аксиомой о том что параллельные прямые не пересекаются в бесконечности. А теорема Гёделя о неполноте хороший пример, только я бы не выделял жирным шрифтом высказывание взятое вне контекста. Строго формально, доказательство - это последовательность применения правил вывода. А обыденное "убеждение" встанет в тупик даже на парадоксе Кантора, не говоря уже о более тонких материях. Конечно, в разделах оснований математики обыденный мозг пасует. "Для математики у него недоставало воображения..."
nefedor
Mar. 31st, 2012 08:22 pm (UTC)
Да, помню как профессор Успенский рассказывал нам про то, что такое доказательство, на самой первой лекции по математической логике... Яркие лекции были.
А что касается теоремы Геделя, то она интересна именно культурологически, и выходит за пределы математики. Поэтому, вполне логично, что ее смысл может и должен быть известен не-математикам.
Дело в том, что она - вестниик (один из многих, конечно) заката цивилизации. Она играет примерно ту же роль, что и известные "апории Зенона", то есть, нечто, разрушающее стройную научную картину, построенную ранее.
Многие представляют математику как некий сияющий кристально ясный и совершенный дворец абсолютной и непогрешимой истины, очевидно, помня довольно строгое построение школьной геометрии. Однако, в неизвестной широким массам реальности все оказывается не так просто и совсем не так ясно и бесспорно.
Начиная с Рассела и Геделя, оказалось, что самые основания математики и логики в каком-то смысле ущербны: либо неполны, либо противоречивы. То есть, если избегать противоречивости, то найдутся гипотезы, которые никак нельзя ни доказать, ни опрвергнуть. И это при любой изначальной аксиоматике. Примером невыводимой гипотезы может служить континнум-гипотеза: существует ли множество, у которого эдементов больше, чем натуральных чисел, но меньше, чем точек на прямой? При общепринятой аксиоматике, это утверждение нельзя ни подтвердить, ни опровергнуть. Можно сказать, что в существование этого множества можно только верить. Или рассмытривать две матемитики: в одной такое множество существует, в другой - нет...
Далее, и в самой процедуре доказательства возникли проблемы. Возникли три разные школы математиков, которые не считают доказательства другой школы за доказательства. Во-первых, есть конструктивисты, которые считают реальным только то, что можно построить конечным количеством усилий и отвергают идею предельного перехода и зеленеют от слов "и так далее". В этой школе неверным оказывается большая часть матанализа. Дальше, есть логицисты, которые считают, что доказательство это набор строчек с математическими значками, такой что каждая следующая строчка следует из предыдущей с помощью утвежденных манипуляций (правил вывода) - расширенный вариант греческих силлогизмов - а все, что не записано таким образом, это не доказательство. И есть интуиционисты, которые начинают доказательства со слов "всем известно, что..." или "очевидно, что...".
Но самым большим "злом" является то, что скорость развития математики превышает способности к классификации и установлению внутренних связей. Последним человеком, считавшим себя энциклопедистом, был Фон Нейман, которому устроили экзамен по основным направлениям математики, и выяснилось, что о 90% он не имеет никакого понятия. В 50е годы группа математиков под псевдонимом Николя Бурбаки предприняла попытку систематизации математики, выпустила ряд книг энциклопедического характера, но в конце концов, попытка провалилась. Также, учитывая, что в год публикуется примерно 300 тысяч новых теорем, даже прочитать все это оказывается невозможным. Поэтому сегодняшний математик - это очень узкий специалист, совершенно не представляющий, что делает его сосед.
Но это все только про математику.
На самом же деле, как я считаю, это лишь часть общецивилизационного явления спада, в чем-то аналогичного закату Рима. Тогда угасала не только греческая математика, но и вся культура вообще, закат наук был лишь частью этого процесса. Но это немного отдельная тема.
vit_r
Mar. 31st, 2012 09:56 pm (UTC)
Интересное кино. А как же быть с машинным доказательством?
nefedor
Apr. 1st, 2012 04:58 pm (UTC)
Им пользуются все чаще, ибо лень читать тексты вручную. Хотя, конечно, консерваторы его не признают.
( 63 comments — Leave a comment )